オトコ40歳、これからどうする？

 

２桁の掛け算、２つの数字の十の位が同じで、一の位を足すと１０になる場合は、
十の位同士を掛け合わせた答えに十の位の数字を足したものが最初の２桁、
一の位同士を掛け合わせた答えが後半の２桁になる。

・・・・文章でかくとわけが分からんですね。例を挙げて考えてみましょう。
例えば、４８×４２。十の位が４で同じ、一の位を足すと１０になる。
最初の２桁が、４×４＋４＝２０
後半の２桁が、８×２＝１６
というわけで、答えは２０１６ということですね。確かにあってる。

もうひとつ、十の位を足すと１０で、一の位が同じ場合は、
十の位同士を掛け合わせた答えに一の位の数字を足したものが最初の２桁、
一の位同士を掛け合わせた答えが後半の２桁になる。
というのもある。

例えば、７６×３６の場合は、
最初の２桁が、７×３＋６＝２７
後半の２桁が、６×６＝３６
というわけで、答えは２７３６。確かにあってる。

ふーん。
と、思いつつ、つい、紙と鉛筆を手にとってしまう。
２桁の整数の掛け算だから、a, b, c, dを１桁の整数として、

　　(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd

後半の２桁がbdになるためには、(ad + bc)が10の倍数になればいい。
ひとつめの場合の条件は、a=c, b+d=10だから、(ad+bc)=a(b+d)=10a
ふたつめの場合の条件は、a+c=10, b=dだから、(ad+bc)=(a+c)b=10b
というわけで、どちらも10の倍数になる。
で、最初の２桁は、それぞれ、100ac+100a=100(ac+a) と、
100ac+100b=100(ac+b)　ということで、上述のような速解ができる訳。


ところで、他に(ad + bc)が10の倍数になるケースはないだろうか？
a=b, c+d=10の時ってのが、とりあえず、思いつく。（c=d, a+b=10も本質的に同じ）
この場合は、(ad+bc)=a(c+d)=10a、最初の２桁は100ac+100a=100(ac+a)

文章で書くと、十の位と一の位の数が同じ２桁の数字と、
十の位と一の位の数字を足すと１０になる数字の掛け算の場合、
十の位同士を掛け合わせた答えに同じ数を足したものが最初の２桁、
一の位同士を掛け合わせた答えが後半の２桁になる。
てなかんじ。

例：７７×２８＝（７×２＋７）×１００＋（７×８）＝２１５６

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